圆环上的游戏

将 $10^9 + 7$ 个盒子排成圆环，依次编号为 $0,1,\dots,10^9 + 6$. 所有编号均按模 $p = 10^9 + 7$ 计算。

每次操作可以选择一个编号 $a$，执行以下两种操作之一：

• 向编号为 $$a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2$$ 的盒子中各放入一枚棋子;

已知: 初始时, $0$ 号盒子有 $m > 0$ 枚棋子, 其余盒子为空; 结束时, 除了 $1$ 号盒子以外的所有盒子为空, $1$ 号盒子有 $m'$ 枚棋子.

求正整数 $m$ 的最小值.