# 圆环上的游戏

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/circular-1

将 $10^9 + 7$ 个盒子排成圆环，依次编号为
$
0,1,\dots,10^9 + 6
$. 所有编号均按模 $p = 10^9 + 7$ 计算。

每次操作可以选择一个编号 $a$，执行以下两种操作之一：

- 向编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中各放入一枚棋子;
- 若编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中都有至少一枚棋子, 则从这些编号的盒子中各取走一枚棋子.

已知: 初始时, $0$ 号盒子有 $m > 0$ 枚棋子, 其余盒子为空; 结束时, 除了 $1$ 号盒子以外的所有盒子为空, $1$ 号盒子有 $m'$ 枚棋子.

求正整数 $m$ 的最小值.