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把思路，写完整。
关于「二次型积分」
分析 | 代数
挑战
回看题目 · 二次型积分
计算反常积分
J
=
∫
0
∞
∑
m
,
n
∈
Z
(
e
−
π
t
(
m
2
+
27
n
2
)
−
e
−
π
t
(
4
m
2
+
2
m
n
+
7
n
2
)
)
d
t
.
J = \int_{0}^{\infty} \sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \left( e^{-\pi t(m^2+27n^2)} - e^{-\pi t(4m^2+2mn+7n^2)} \right) \mathrm{d}t.
J
=
∫
0
∞
m
,
n
∈
Z
∑
(
e
−
π
t
(
m
2
+
27
n
2
)
−
e
−
π
t
(
4
m
d
t
.
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解题思路
在这里写下你的观察与证明。
行内公式：
a
2
+
b
2
=
c
2
a^2+b^2=c^2
a
2
+
b
2
=
c
2
。
∑
i
=
1
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}
i
=
1
∑
n
i
=
2
n
(
n
+
1
)
证明
□
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2
+
2
mn
+
7
n
2
)
)