关于「向量和问题」

我们证明, 最小的 $N$ 为 $6$.

不妨设 $z_1 = 1$. 由于 $\operatorname{Arg} z_i \in \mathbb Q \pi$, 所以 $z_i$ 一定都是单位根. 假设 $M$ 为单位根的阶的最小公倍数.

命题. $\mu(M) \ne 0$, $M \mid \operatorname{lcm}(1,2,\dots,N)$.

证明. 设 $a = v_p(M)$, $K = \dfrac M{p^a}$, . 那么 , 其中 是 次单位根.

我们用反证法证明 $a \le 1$. 若 $a > 1$, 设域 $F = \mathbb Q(\omega_{M}), K = \mathbb Q(\omega_{M/p})$, 则:

又 $F = K(\rho)$, 有: $\rho^i\ (0 \le i < p)$ 之间 $$-线性无关. 现在考察等式 , 因此

结合上 $\sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i \in K$ 可得 .

因此 $\sum_{e_i \bmod p = j} z_i = 0$. 但是由于任何真子集的复数和不为 , 又因为 , 有对于任意的 , . 这意味着所有的 都是 次单位根, 与 的最小性矛盾.

再考虑 $a = 1$ 的情形. 此时 $[F : K] = p - 1$, 因此 $\rho$ 在 $$ 上的最小多项式是 . 考虑到 张成的线性空间就是 , 是 维的, 因此有且仅有一个线性关系, 这个关系恰好是 . 再次利用

利用线性关系的论证可以得到 $c_i = \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i$ 满足

首先, 若这些值都为 $0$, 则可以利用之前的 $M/p$ 次单位根来论证; 否则, 每个组都要有至少一个复数, 一共有 $p$ 组, 而有 $N$ 个数, 所以 $p \le N$.

得证.

首先我们考察 $N \le 6$ 的情形. 若 $5 \nmid M$, 则根据引理可知 $M \mid 6$. 所以 此时 $z_i\in \{1,\omega ,{\omega }^2,-1,-$, 因此此时必然形成正多边形构型.

因此必然有 $5 \mid M$, 利用引理的证明, 考虑设 $c_i = \sum_{e_i \bmod 5 = j} \rho^{e_i - j} \eta_i$, 其中 为 次单位根. 因此, 至少有 组, 而 时这些组必然形成正五边形.

而 $N = 6$ 时, 唯一的可能是 $2+1+1+1+1$. 不妨做旋转, 设五个组分别是

因此 $u + v = 1$, 与 $|u| = |v| = 1$ 联立可以解出

不难验证

满足所需条件. 至此, 我们证明了, 所有可能的 $z_i$ 一定是上述构型的适当旋转.