# litlocus 题解导出

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## 关于「向量和问题」

- 原题：向量和问题
- 作者：GF1048576
- 审核时间：2026/10/21 16:07:34

我们证明, 最小的 $N$ 为 $6$.

不妨设 $z_1 = 1$. 由于 $\operatorname{Arg} z_i \in \mathbb Q \pi$, 所以 $z_i$ 一定都是单位根. 假设 $M$ 为单位根的阶的最小公倍数.

**命题.** $\mu(M) \ne 0$, $M \mid \operatorname{lcm}(1,2,\dots,N)$.

*证明.* 设 $a = v_p(M)$, $K = \dfrac M{p^a}$, $\rho = \omega_{p^a}$. 那么 $z_i = \rho^{e_i} \cdot \eta_i$, 其中 $e_i \in \mathbb Z, \eta_i$ 是 $K$ 次单位根. 

我们用反证法证明 $a \le 1$. 若 $a > 1$, 设域 $F = \mathbb Q(\omega_{M}), K = \mathbb Q(\omega_{M/p})$, 则:
$$
[F:K] = \dfrac{\varphi(M)}{\varphi(M/p)} = p.
$$
又 $F = K(\rho)$, 有: $\rho^i\ (0 \le i < p)$ 之间 $K$-线性无关. 现在考察等式 $\sum_{i=1}^N \rho^{e_i} \cdot \eta_i = 1$, 因此
$$
0 = \sum_{j=0}^{p-1} \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i} \eta_i = \sum_{j=0}^{p-1} \rho^j \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i,
$$
结合上 $\sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i \in K$ 可得 $\sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i = 0$.

因此 $\sum_{e_i \bmod p = j} z_i = 0$. 但是由于任何真子集的复数和不为 $0$, 又因为 $z_1 = 1$, 有对于任意的 $i$, $e_i \bmod p = 0$. 这意味着所有的 $z_i$ 都是 $M/p$ 次单位根, 与 $M$ 的最小性矛盾.

再考虑 $a = 1$ 的情形. 此时 $[F : K] = p - 1$, 因此 $\rho$ 在 $K$ 上的最小多项式是 $\sum_{i = 0}^{p - 1} X^i$. 考虑到 $\rho^i\ (0 \le i < p)$ 张成的线性空间就是 $F$, 是 $p - 1$ 维的, 因此有且仅有一个线性关系, 这个关系恰好是 $\sum_{i=0}^{p-1} \rho^i = 1$. 再次利用
$$
0 = \sum_{j=0}^{p-1} \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i} \eta_i = \sum_{j=0}^{p-1} \rho^j \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i,
$$
利用线性关系的论证可以得到 $c_i = \sum_{e_i \bmod p = j} \rho^{e_i - j} \eta_i$ 满足
$$
c_0 = c_1 = \dots = c_{p-1}.
$$
首先, 若这些值都为 $0$, 则可以利用之前的 $M/p$ 次单位根来论证; 否则, 每个组都要有至少一个复数, 一共有 $p$ 组, 而有 $N$ 个数, 所以 $p \le N$.

得证.

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首先我们考察 $N \le 6$ 的情形. 若 $5 \nmid M$, 则根据引理可知 $M \mid 6$. 所以 此时 $z_i \in \{1, \omega, \omega^2, -1, -\omega, -\omega^2\}$, 因此此时必然形成正多边形构型. 

因此必然有 $5 \mid M$, 利用引理的证明, 考虑设 $c_i = \sum_{e_i \bmod 5 = j} \rho^{e_i - j} \eta_i$, 其中 $\rho$ 为 $5$ 次单位根. 因此, 至少有 $5$ 组, 而 $N = 5$ 时这些组必然形成正五边形.

而 $N = 6$ 时, 唯一的可能是 $2+1+1+1+1$. 不妨做旋转, 设五个组分别是
$$
u + v, \rho, \rho^2, \rho^3, \rho^4,
$$
因此 $u + v = 1$, 与 $|u| = |v| = 1$ 联立可以解出
$$
\{u, v\} = \{\omega_6, \omega_6^5\}.
$$

不难验证
$$
\{z_i\} = \{\omega_6, \omega_6^5, \omega_5,\omega_5^2, \omega_5^3, \omega_5^4\}
$$
满足所需条件. 至此, 我们证明了, 所有可能的 $z_i$ 一定是上述构型的适当旋转.