# 向量和问题

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/vector-sum-1

设 $N$ 个复数 $z_1, z_2, \dots, z_N$, 满足:

- $|z_i| = 1$;
- $\sum_{i=1}^N z_i = 0$;
- 对于任意的非空真子集 $I \subseteq \{1, 2, \dots, N\}$, 有 $\sum_{i \in I} z_i \ne 0$;
- 若 $z_i$ 在复平面上的对应点为 $P_i$, 则 $P_1, \dots, P_N$ **不是**正 $N$ 边形的 $N$ 个顶点.
- $z_i$ 的幅角 $\theta$ 满足 $\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb Q$.

求 $N$ 的最小值, 以及当 $N$ 取最小值时所有可能的 $z_i$.