# litlocus 题面

## 1. GZA 提供的初等数论问题 I

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：初等数论
- 难度：进阶
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/gza-elementary-problem-1

求不定方程
$$
n^{p-1} \mid ((p-1)^n + 1)
$$
在 $n \in \mathbb Z_{> 0}$ 且 $p$ 为质数时的所有解.

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## 2. 向量和问题

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/vector-sum-1

设 $N$ 个复数 $z_1, z_2, \dots, z_N$, 满足:

- $|z_i| = 1$;
- $\sum_{i=1}^N z_i = 0$;
- 对于任意的非空真子集 $I \subseteq \{1, 2, \dots, N\}$, 有 $\sum_{i \in I} z_i \ne 0$;
- 若 $z_i$ 在复平面上的对应点为 $P_i$, 则 $P_1, \dots, P_N$ **不是**正 $N$ 边形的 $N$ 个顶点.
- $z_i$ 的幅角 $\theta$ 满足 $\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb Q$.

求 $N$ 的最小值, 以及当 $N$ 取最小值时所有可能的 $z_i$.

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## 3. 缺项多项式

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：挑战
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/defect-in-polynomial

定义一个三次多项式 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$ 是缺项的, 若 $A \cdot B \cdot C \cdot D = 0$.

设多项式 $Q = X^4 - X + 1$. 证明: 只存在有限多个 $N$, 使得 $X^N \bmod Q$ 是缺项的.

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## 4. 二次型积分

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：分析 | 代数
- 难度：挑战
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/integral-calculation-1

计算反常积分
$$
J = \int_{0}^{\infty} \sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \left( e^{-\pi t(m^2+27n^2)} - e^{-\pi t(4m^2+2mn+7n^2)} \right) \mathrm{d}t.
$$

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## 5. 圆环上的游戏

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/circular-1

将 $10^9 + 7$ 个盒子排成圆环，依次编号为
$
0,1,\dots,10^9 + 6
$. 所有编号均按模 $p = 10^9 + 7$ 计算。

每次操作可以选择一个编号 $a$，执行以下两种操作之一：

- 向编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中各放入一枚棋子;
- 若编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中都有至少一枚棋子, 则从这些编号的盒子中各取走一枚棋子.

已知: 初始时, $0$ 号盒子有 $m > 0$ 枚棋子, 其余盒子为空; 结束时, 除了 $1$ 号盒子以外的所有盒子为空, $1$ 号盒子有 $m'$ 枚棋子.

求正整数 $m$ 的最小值.

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## 6. 椭圆上的正五边形

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：几何
- 难度：入门
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/geometric-pentagon

证明: 椭圆 $\dfrac{X^2}{5} + \dfrac{Y^2}{12} = 1$ 上不存在内接正五边形.