# litlocus 题面

## 1. 时滞微分方程一例

- 发布日期：2026-10-22
- 分类：分析
- 难度：进阶
- 来源：知乎
- 题目链接：/problems/td-de

若连续可导函数 $f$ 满足 $|f(x)| \le 1$, 且 $\forall x \in \mathbb R, f'(x) = f(x + 1) - f(x)$. 证明: $f$ 是常数.

---

## 2. 多元极值问题

- 发布日期：2026-10-22
- 分类：初等极值
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/inequality-1

设 $a_0, a_1, \dots, a_{N-1}$ 是 $N$ 个正实数, 求 $\dfrac{\sum_{1 \le i < N} a_{i-1} a_i}{\sum_{0 \le i < N} a_i^2}$ 的最大值.

---

## 3. GZA 提供的初等数论问题 I

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：初等数论
- 难度：进阶
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/gza-elementary-problem-1

求不定方程
$$
n^{p-1} \mid ((p-1)^n + 1)
$$
在 $n \in \mathbb Z_{> 0}$ 且 $p$ 为质数时的所有解.

---

## 4. 向量和问题

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/vector-sum-1

设 $N$ 个复数 $z_1, z_2, \dots, z_N$, 满足:

- $|z_i| = 1$;
- $\sum_{i=1}^N z_i = 0$;
- 对于任意的非空真子集 $I \subseteq \{1, 2, \dots, N\}$, 有 $\sum_{i \in I} z_i \ne 0$;
- 若 $z_i$ 在复平面上的对应点为 $P_i$, 则 $P_1, \dots, P_N$ **不是**正 $N$ 边形的 $N$ 个顶点.
- $z_i$ 的幅角 $\theta$ 满足 $\frac{\theta}{\pi} \in \mathbb Q$.

求 $N$ 的最小值, 以及当 $N$ 取最小值时所有可能的 $z_i$.

---

## 5. 缺项多项式

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：挑战
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/defect-in-polynomial

定义一个三次多项式 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$ 是缺项的, 若 $A \cdot B \cdot C \cdot D = 0$.

设多项式 $Q = X^4 - X + 1$. 证明: 只存在有限多个 $N$, 使得 $X^N \bmod Q$ 是缺项的.

---

## 6. 二次型积分

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：分析 | 代数
- 难度：挑战
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/integral-calculation-1

计算反常积分
$$
J = \int_{0}^{\infty} \sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \left( e^{-\pi t(m^2+27n^2)} - e^{-\pi t(4m^2+2mn+7n^2)} \right) \mathrm{d}t.
$$

---

## 7. 圆环上的游戏

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：代数
- 难度：进阶
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/circular-1

将 $10^9 + 7$ 个盒子排成圆环，依次编号为
$
0,1,\dots,10^9 + 6
$. 所有编号均按模 $p = 10^9 + 7$ 计算。

每次操作可以选择一个编号 $a$，执行以下两种操作之一：

- 向编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中各放入一枚棋子;
- 若编号为
  $$
  a+1^2,\ a+2^2,\ \dots,\ a+\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
  $$
  的盒子中都有至少一枚棋子, 则从这些编号的盒子中各取走一枚棋子.

已知: 初始时, $0$ 号盒子有 $m > 0$ 枚棋子, 其余盒子为空; 结束时, 除了 $1$ 号盒子以外的所有盒子为空, $1$ 号盒子有 $m'$ 枚棋子.

求正整数 $m$ 的最小值.

---

## 8. 椭圆上的正五边形

- 发布日期：2026-10-21
- 分类：几何
- 难度：入门
- 来源：未注明
- 题目链接：/problems/geometric-pentagon

证明: 椭圆 $\dfrac{X^2}{5} + \dfrac{Y^2}{12} = 1$ 上不存在内接正五边形.

---

## 9. Super EZ Problem 1.1

- 发布日期：2026-10-20
- 分类：组合
- 难度：进阶
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/sez-1-1

向四个方向无限大的棋盘上, 把 $n^2$ 个棋子摆成 $n \times n$ 的方阵, 玩法如下: 

- 每个棋子可以跳过横向或纵向紧邻的棋子到达没有棋子的落点, 并移除被经过的棋子.

求所有的 $n$, 使得存在一个将棋子删除成只剩 $1$ 个的跳法.

---

## 10. Super EZ Problem 1.2

- 发布日期：2026-10-20
- 分类：组合
- 难度：进阶
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/sez-1-2

佩勒有 $100$ 个垃圾堆, 每堆垃圾有 $100$ 个垃圾. 每天早上, 佩勒可以执行两个操作之中任意一个:

1. 在每堆垃圾中清除 $1$ 个垃圾
2. 清空某个垃圾堆

但是, 每天晚上, 邪恶的垃圾天神潜入佩勒的房子, 执行两个操作中的任意一个:

1. 在每个非空的垃圾堆里扔一块垃圾
2. 在空地上扔一块垃圾, 形成一个新的垃圾堆

佩勒为了保证清除所有垃圾, 至少需要多少天?

---

## 11. Super EZ Problem 1.3

- 发布日期：2026-10-20
- 分类：代数
- 难度：入门
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/sez-1-3

若 $p$ 是一个奇质数, 求 $\{1, 2, \dots, 2p\}$ 有多少个 $p$ 元素子集, 其元素之和能被 $p$ 整除?

---

## 12. Super EZ Problem 1.4

- 发布日期：2026-10-20
- 分类：初等数论
- 难度：进阶
- 来源：GZA
- 题目链接：/problems/sez-1-4

求有多少有序正整数 $(a,b,c)$ 满足 $a,b,c \leq 3^6$, 且 $a^3+b^3+c^3$ 为 $3^7$ 的倍数.